曲線と曲面　§18 ガウスーワインガルデンの公式

「手を動かしてまなぶ曲線と曲面 (藤岡敦) §18 ガウスーワインガルデンの公式」の学習記録。

ガウスの公式
クリストッフェルの記号と第一基本形式
ワインガルデンの公式
ガウス曲率

ガウスの公式

ガウスの公式とは言うものの中身はなくて、ほとんど定義に近い印象。まずは記号を確認。

$p : D \to R^{3}$ 　曲面
$ν = \frac{1}{‖ p_{u} \times p_{v} ‖} p_{u} \times p_{v}$ 　単位法ベクトル場
$L = ⟨ p_{u u}, ν ⟩, M = ⟨ p_{u v}, ν ⟩, N = ⟨ p_{v v}, ν ⟩$ 　第ニ基本量
$Γ$ 　ガウスの公式で定義されるクリストッフェルの記号

ガウスの公式は $p$ の２回微分を $p_{u}, p_{v}, ν$ で表したもの。

$\begin{array}{rcl} p_{u u} & = & Γ_{u u}^{u} p_{u} + Γ_{u u}^{v} p_{v} + L ν \\ p_{u v} & = & Γ_{u v}^{u} p_{u} + Γ_{u v}^{v} p_{v} + M ν \\ p_{v u} & = & Γ_{v u}^{u} p_{u} + Γ_{v u}^{v} p_{v} + M ν \\ p_{v v} & = & Γ_{v v}^{u} p_{u} + Γ_{v v}^{v} p_{v} + N ν \end{array}$

$p_{u v} = p_{v u}$ より $Γ_{u v}^{u} = Γ_{v u}^{u}, Γ_{u v}^{v} = Γ_{v u}^{v}$ が成り立つ。

クリストッフェルの記号と第一基本形式

クリストッフェルの記号と第一基本形式の関係を求める。第１基本量を確認。

$E = ⟨ p_{u}, p_{u} ⟩, F = ⟨ p_{u}, p_{v} ⟩, G = ⟨ p_{v}, p_{v} ⟩$

$E_{u} = 2 ⟨ p_{u u}, p_{u} ⟩$ に対して、ガウスの公式と $⟨ p_{u}, ν ⟩ = 0$ を適用する。

$E_{u} = 2 Γ_{u u}^{u} E + 2 Γ_{u u}^{v} F$

$E, G$ に関しては同様にできる。

$\begin{array}{rcl} E_{v} & = & 2 Γ_{u v}^{u} E + 2 Γ_{u v}^{v} F \\ G_{u} & = & 2 Γ_{u v}^{u} F + 2 Γ_{u v}^{v} G \\ G_{v} & = & 2 Γ_{v v}^{u} F + 2 Γ_{v v}^{v} G \end{array}$

$F$ については次のようになる。

$\begin{array}{rcl} F_{u} & = & ⟨ p_{u v}, p_{u} ⟩ + ⟨ p_{u u}, p_{v} ⟩ = \frac{1}{2} E_{v} + Γ_{u u}^{u} F + Γ_{u u}^{v} G \\ F_{v} & = & ⟨ p_{v v}, p_{u} ⟩ + ⟨ p_{u v}, p_{v} ⟩ = Γ_{v v}^{u} E + Γ_{v v}^{v} F + \frac{1}{2} G_{u} \end{array}$

これを書き換える。

$\begin{array}{rcl} 2 F_{u} - E_{v} & = & 2 Γ_{u u}^{u} F + 2 Γ_{u u}^{v} G \\ 2 F_{v} - G_{u} & = & 2 Γ_{v v}^{u} E + 2 Γ_{v v}^{v} F \end{array}$

$Γ^{u}$ が上、 $Γ^{v}$ が下になるように行列でまとめる。

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{cc} E & F \\ F & G \end{array}) (\begin{array}{ccc} Γ_{u u}^{u} & Γ_{u v}^{u} & Γ_{v v}^{u} \\ Γ_{u u}^{v} & Γ_{u v}^{v} & Γ_{v v}^{v} \end{array}) & = & \frac{1}{2} (\begin{array}{ccc} E_{u} & E_{v} & 2 F_{v} - G_{u} \\ 2 F_{v} - G_{u} & G_{u} & G_{v} \end{array}) \end{array}$

ワインガルデンの公式

ワインガルデンの公式は $ν_{u}, ν_{v}$ を与える公式である。 $ν$ に直交するので、次のように $p_{u}, p_{v}$ の一次結合で表す。

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} ν_{u} \\ ν_{v} \end{array}) & = & (\begin{array}{cc} P & Q \\ R & S \end{array}) (\begin{array}{c} p_{u} \\ p_{v} \end{array}) \end{array}$

両辺に左から $(\begin{array}{cc} ^{t} p_{u} & ^{t} p_{v} \end{array})$ を掛ける。

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{cc} ⟨ ν_{u}, p_{u} ⟩ & ⟨ ν_{u}, p_{v} ⟩ \\ ⟨ ν_{v}, p_{u} ⟩ & ⟨ ν_{v}, p_{v} ⟩ \end{array}) & = & (\begin{array}{cc} P & Q \\ R & S \end{array}) (\begin{array}{cc} E & F \\ F & G \end{array}) \end{array}$

定義より、 $L = ⟨ ν, p_{u u} ⟩, M = ⟨ ν, p_{u v} ⟩, N = ⟨ ν, p_{v v} ⟩$ に注意する。 $⟨ ν, p_{u} ⟩ = 0$ を $u$ で偏微分して $⟨ ν_{u}, p_{u} ⟩ + ⟨ ν, p_{u u} ⟩ = ⟨ ν_{u}, p_{u} ⟩ + L = 0$ だから $⟨ ν_{u}, p_{u} ⟩ = - L$ 。 $v$ で偏微分すると $⟨ ν_{v}, p_{u} ⟩ = - M$ を得る。 $⟨ ν, p_{v} ⟩ = 0$ からは $⟨ ν_{u}, p_{v} ⟩ = - M, ⟨ ν_{v}, p_{v} ⟩ = - N$ が得られる。以上により、次のワインガルデンの公式が得られる。

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{cc} P & Q \\ R & S \end{array}) & = & - (\begin{array}{cc} L & M \\ M & N \end{array}) {(\begin{array}{cc} E & F \\ F & G \end{array})}^{- 1} \end{array}$

ガウス曲率

16章でガウス曲率を $K = \det {(\begin{array}{cc} E & F \\ F & G \end{array})}^{- 1} (\begin{array}{cc} L & M \\ M & N \end{array})$ と求めた。これは $\det (\begin{array}{cc} P & Q \\ R & S \end{array})$ に等しい。また、

$\begin{array}{rcl} ν_{u} \times ν_{v} & = & (P p_{u} + Q p_{v}) \times (R p_{u} + S p_{v}) \\ = & | \begin{array}{cc} P & Q \\ R & S \end{array} | p_{u} \times p_{v} \end{array}$

も成り立つ。