群論序説(星明考 著) を読んでいて準二面体群が現れた。二面体群のような幾何学的な表現が無いか調べてみたが日本語での解説が見つからず、英語で解説を探したので記録しておく。英語では quasidihedral group または semi-dihedral group と呼ぶ。準二面体群の定義は次の通り。
\( \langle \, x,y \, \vert \, x^{2^n}=y^2=1, \, y^{-1} x y = x^{2^{n-1}-1} \, \rangle \)
実２次元の幾何学的な表現はなさそうで、代わりに２次の複素表現が見つかった。\( \omega=\exp \left( \frac{\pi i }{2^{n-1}} \right) \) とする。則ち、1 の \( 2^n \) 乗根であり、\( \omega^{2^{n-1}} = -1 \) である。このとき \(x,y\) を次のように表現できる。
\( \begin{eqnarray}
x & \mapsto & \left( \begin{array}{cc} \omega & 0 \\ 0 & -\omega^{-1} \end{array}\right) \\
y & \mapsto & \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \\
\end{eqnarray} \)
実際に計算してみよう。
\( \begin{eqnarray}
\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)
\left( \begin{array}{cc} \omega & 0 \\ 0 & -\omega^{-1} \end{array}\right)
\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)
&=&
\left( \begin{array}{cc} -\omega^{-1} & 0 \\ 0 & \omega \end{array}\right)
\\
\left( \begin{array}{cc} \omega & 0 \\ 0 & -\omega^{-1} \end{array}\right)^{2^{n-1}-1}
&=& \left( \begin{array}{cc} \omega^{2^{n-1}-1} & 0 \\ 0 & -\omega^{1-2^{n-1}} \end{array}\right)
= \left( \begin{array}{cc} -\omega^{-1} & 0 \\ 0 & \omega \end{array}\right)
\end{eqnarray} \)
