初等整数論講義を連分数のところまで読み終えたところで、木田先生の連分数を読み始めた。第4章の 命題 4.7 の証明を少し簡略化したので記録する。(相加平均) \(\geq\) (相乗平均) を使えば、簡略化できるし、場合分けも避けられる。
(命題 4.7) \(\alpha\) の連続する近似分数の一方は \(\left| \dfrac{p}{q} – \alpha \right| < \dfrac{1}{2q^2} \) を満たす。
(証明) \( \alpha \) は \( \dfrac{p_n}{q_n} \) と \( \dfrac{p_{n+1}}{q_{n+1}} \) の間にあるので、次式が成り立つ。
\( \left| \dfrac{p_{n+1}}{q_{n+1}} \,-\, \dfrac{p_n}{q_n} \right| = \left| \dfrac{p_{n+1}}{q_{n+1}} \,-\, \alpha \right| + \left| \dfrac{p_n}{q_n} \,-\, \alpha \right|\)
\( 0<q_n<q_{n+1} \) (系 3.13) であることに注意しておこう。
\begin{eqnarray}
\frac{1}{q_n q_{n+1}}
&=& \left| \frac{p_{n+1} q_n \,-\, p_n q_{n+1}}{q_n q_{n+1}} \right|
\,=\, \left| \frac{p_{n+1}}{q_{n+1}} \,-\, \frac{p_n}{q_n} \right|
\end{eqnarray}
\(\left| \dfrac{p_n}{q_n} \,-\, \alpha \right| \geq \dfrac{1}{2q_n^2} \) かつ \(\left| \dfrac{p_{n+1}}{q_{n+1}} \,-\, \alpha \right| \geq \dfrac{1}{2q_{n+1}^2} \) と仮定して矛盾を導く。
\begin{eqnarray}
\frac{1}{q_n q_{n+1}}
&\geq& \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{q_n^2} + \dfrac{1}{q_{n+1}^2} \right) > \frac{1}{q_n q_{n+1}}
\end{eqnarray}
最後の不等式で (相加平均) \(\geq\) (相乗平均) を用いた。\(q_n\neq q_{n+1}\) なので等号を外せる。\(q_0=1\) なので \(n=0\) の場合分けも不要。
