数学ノート 三角関数の有理関数の定積分 (1)
三角関数の有理関数を積分する方法は多くの微積分の教科書に書かれているが、定積分についてはあまり触れられていない。定積分を考えていると、面白い謎が生じたので検証してみた。定積分の謎例として、三角関数の有理関数の不定積分 \( \display...
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数学ノート 数学ノート ガンマ関数 ３つの定義
ガンマ関数には同値な定義が幾つかある。それぞれの利便性が異なるのでまとめてみた。解析入門 I (杉浦光夫)で現れた３つの定義を取り上げる。定義１ 積分による定義最もスタンダードな定義は積分を使った \(\displaystyle \Gamm...
教養数学 ベータ関数とガンマ関数の関係式
ベータ関数とガンマ関数の間にある有名な関係式 \( \displaystyle B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \) を証明する。２変数の広義積分が理解できていれば、このペ...
数学ノート 留数と微分形式
留数の表記の問題点留数は \(\mathop{\rm Res}\limits_{z=c} f(z) \) などのように記述されるが、\(\mathop{\rm Res}\limits_{z=c} f(z)\,dz\) のように微分形式に対応...
数学ノート コーシーの積分定理と代数学の基本定理
複素関数入門（神保道夫）の第３章で、コーシーの積分定理の応用として代数学の基本定理が証明されていた。もう少し先に進んでから証明する教科書が多いと思う。よく見かけるのはリウヴィルの定理の応用だけど、ルーシェの定理を使う方法も有名らしい。（追記...
数学ノート 冪級数の収束円周上における収束性
冪級数の収束円周上における収束例本記事の題材は複素関数入門（神保道夫）第２章で例2.2で与えられている冪級数の収束円周上の収束パターンについて。\( \begin{eqnarray}f_0(z) &=& \frac{z}{1-z} \,=\...
数学ノート 対数関数と逆三角関数
今回の題材は関数論講義（金子晃）の第１章から。この本、第１章から目から鱗が落ちる。対数関数の定義対数関数は指数関数の逆関数として定義されることが多い。指数関数はオイラーの公式を使って定義されることも多いが、冪級数を使った定義 \( \dis...
教養数学 ブロック行列の逆行列
ある本でブロック行列で表現された行列の逆行列を目にした。証明は簡単で、掛けて単位行列になることを確認すればよい。しかし、どのように逆行列を導いたかは書かれておらず、長い期間分からないままだった。このままでは必要になるたびに逆行列を解説してい...
数学ノート 体の乗法群の有限部分群
はじめに体の乗法群の有限部分群は巡回群である。特に有限体の乗法群は巡回群である。教科書によっては扱っていない内容のようで、証明を探すのに意外と手間取った。アルティン著「ガロア理論入門」を参考にした。これだけの名著がちくま学芸文庫になって安く...
教養数学 ２次無理関数の積分(2)
\( \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} \) を前回と同じように求めてみよう。根号の中が正である必要があるので、\( x > 1 \) または \( x < -1 \) となる。ここでは ...