数学ノート ガンマ関数 ３つの定義
ガンマ関数には同値な定義が幾つかある。それぞれの利便性が異なるのでまとめてみた。解析入門 I (杉浦光夫)で現れた３つの定義を取り上げる。定義１ 積分による定義最もスタンダードな定義は積分を使った \(\displaystyle \Gamm...
数学ノート
数学ノート 数学ノート 留数と微分形式
留数の表記の問題点留数は \(\mathop{\rm Res}\limits_{z=c} f(z) \) などのように記述されるが、\(\mathop{\rm Res}\limits_{z=c} f(z)\,dz\) のように微分形式に対応...
数学ノート コーシーの積分定理と代数学の基本定理
複素関数入門（神保道夫）の第３章で、コーシーの積分定理の応用として代数学の基本定理が証明されていた。もう少し先に進んでから証明する教科書が多いと思う。よく見かけるのはリウヴィルの定理の応用だけど、ルーシェの定理を使う方法も有名らしい。（追記...
数学ノート 冪級数の収束円周上における収束性
冪級数の収束円周上における収束例本記事の題材は複素関数入門（神保道夫）第２章で例2.2で与えられている冪級数の収束円周上の収束パターンについて。\( \begin{eqnarray}f_0(z) &=& \frac{z}{1-z} \,=\...
数学ノート 対数関数と逆三角関数
今回の題材は関数論講義（金子晃）の第１章から。この本、第１章から目から鱗が落ちる。対数関数の定義対数関数は指数関数の逆関数として定義されることが多い。指数関数はオイラーの公式を使って定義されることも多いが、冪級数を使った定義 \( \dis...
数学ノート 体の乗法群の有限部分群
はじめに体の乗法群の有限部分群は巡回群である。特に有限体の乗法群は巡回群である。教科書によっては扱っていない内容のようで、証明を探すのに意外と手間取った。アルティン著「ガロア理論入門」を参考にした。これだけの名著がちくま学芸文庫になって安く...
数学ノート 非単拡大の中間体
テーマは アルティン著「現代代数学特論」4.4中間体 から。次の定理が紹介されている。（明示的に定理としてまとめられているのではなく、内容をまとめたものである。）\( E/F \) は有限次拡大とする。\( E/F \) が単拡大 \( \...
数学ノート 群の弱い公理
題材は 現代代数学特論（エミール・アルティン）から。たまたまこの本が出版されているのに気付き、絶版になる前にすかさず購入。群の公理一般的に群の公理は以下のように与えられる。結合則\( (ab)c=a(bc) \)単位元 \(e\) の存在任...