複素平面上の円の方程式

複素平面上の円および直線の方程式についてまとめた。主に 複素関数論講義(野村) 1.4章を参考にした。

直線の方程式

2つの複素数 u,v を2次元ベクトルと見た時の内積は Re(uv) で表されることに注意しよう。γ を通り β に垂直な直線は Re(β(zγ))=0 と表される。

2Re(β(zγ))=(β(zγ))+(β(zγ))=βz+βzβγβγ=0

βγβγ は実数であり、これを c と置けば次式が得られる。

(1)βz+βz+c=0

逆に 0 でない複素数 β、実数 c に対して、(1) を満たす集合は直線であることを示そう。βγ+βγ=c を満たす γ は存在する。例えば、γ=cβ2|β|2 と取ればよい。この時、式 (1) を満たす zRe(β(zγ))=0 を満たすから zγβ に垂直である。したがって、式 (1) は γ を通り、β に垂直な直線の方程式である。

方程式に 0 でない実数を掛けても良いので、方程式は一意ではない。c=1 に限定すると、c=0 の場合が除外されてしまう。また、複素関数論講義(野村) を参考にして、自分にとって分かりやすい方法に修正した。

円の方程式

β を中心とした半径 R の円の方程式を求める。中心の符号は式を上とそろえるためにマイナスをつけた。|z+β|2=(z+β)(z+β)=R2 より次式が得られる。

|z|2+βz+βz+|β|2R2=0

|β|2R2 は実数であり、c とおくと次式になる。

(2)|z|2+βz+βz+c=0

形としては式 (1) に |z|2 が加わっているだけであるが、係数に条件 (R2=)|β|2c>0が加わる。式 (2) から逆に辿ることもできる。

リーマン球上の円の方程式

リーマン球上では直線は無限遠点を通る円である。実数パラメータ a を追加して、円または直線の方程式を次のようにまとめることができる。

a|z|2+βz+βz+c=0(|β|2ac>0)

a=0 の場合は直線、a0 の場合は円の方程式である。表現は一意的ではない。