複素平面上の円の方程式

複素平面上の円および直線の方程式についてまとめた。主に 複素関数論講義(野村) 1.4章を参考にした。

直線の方程式

２つの複素数 $u,v$ を２次元ベクトルと見た時の内積は $\mathrm{Re}\left(\bar{u}v\right)$ で表されることに注意しよう。$\gamma$ を通り $\beta$ に垂直な直線は $\mathrm{Re}(\bar{\beta }(z-\gamma ))=0$ と表される。

$\begin{array}{rcl}2\mathrm{Re}(\bar{\beta }(z-\gamma ))& =& (\bar{\beta }(z-\gamma ))+\overline{(\stackrel{―}{\beta }(z-\gamma ))}\\ & =& \bar{\beta }z+\beta \bar{z}-\bar{\beta }\gamma -\beta \bar{\gamma }=0\end{array}$

$-\bar{\beta }\gamma -\beta \bar{\gamma }$ は実数であり、これを $c$ と置けば次式が得られる。

$\begin{array}{}\text{(1)}& \bar{\beta }z+\beta \bar{z}+c& =& 0\end{array}$

逆に 0 でない複素数 $\beta$、実数 $c$ に対して、(1) を満たす集合は直線であることを示そう。$\bar{\beta }\gamma +\beta \bar{\gamma }=-c$ を満たす $\gamma$ は存在する。例えば、$\gamma =-\frac{c\beta }{2|\beta {|}^2}$ と取ればよい。この時、式 (1) を満たす $z$ は $\mathrm{Re}(\bar{\beta }(z-\gamma ))=0$ を満たすから $z-\gamma$ は $\beta$ に垂直である。したがって、式 (1) は $\gamma$ を通り、$\beta$ に垂直な直線の方程式である。

方程式に 0 でない実数を掛けても良いので、方程式は一意ではない。$c=1$ に限定すると、$c=0$ の場合が除外されてしまう。また、複素関数論講義(野村) を参考にして、自分にとって分かりやすい方法に修正した。

円の方程式

$-\beta$ を中心とした半径 $R$ の円の方程式を求める。中心の符号は式を上とそろえるためにマイナスをつけた。${|z+\beta |}^2=(z+\beta )\overline{(z+\beta )}=R^2$ より次式が得られる。

$\begin{array}{rcl}|z{|}^2+\bar{\beta }z+\beta \bar{z}+{\left|\beta \right|}^2-R^2& =& 0\end{array}$

${\left|\beta \right|}^2-R^2$ は実数であり、$c$ とおくと次式になる。

$\begin{array}{}\text{(2)}& |z{|}^2+\bar{\beta }z+\beta \bar{z}+c& =& 0\end{array}$

形としては式 (1) に $|z{|}^2$ が加わっているだけであるが、係数に条件 $(R^2=){\left|\beta \right|}^2-c>0$が加わる。式 (2) から逆に辿ることもできる。

リーマン球上の円の方程式

リーマン球上では直線は無限遠点を通る円である。実数パラメータ $a$ を追加して、円または直線の方程式を次のようにまとめることができる。

${\displaystyle a|z{|}^2+\bar{\beta }z+\beta \bar{z}+c=0(|\beta {|}^2-ac>0)}$

$a=0$ の場合は直線、$a\ne 0$ の場合は円の方程式である。表現は一意的ではない。