「手を動かしてまなぶ 曲線と曲面 (藤岡 敦) §16 主曲率とガウス曲率および平均曲率」の学習記録。
主曲率
10.1 で記録しておきたいことは \( EG-F^2 > 0 \) が成り立つことである。テキストは線形代数の知識をあまり仮定しない配慮をされているように感じられる。ここでは線形代数を使って示しておく。まず \( \left( \begin{array}{cc} E & F \\ F & G \end{array} \right) \) が正定値対称行列であることを示そう。
\( \begin{eqnarray}
\left( \begin{array}{cc} x & y \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} E & F \\ F & G \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)
&=& \left( \begin{array}{cc} x & y \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} p_u \\ p_v \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} {}^tp_u & {}^tp_v \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \\[1mm]
&=& \left\| xp_u+yp_v \right\|^2
\end{eqnarray} \)
\( p_u,p_v \) が１次独立の仮定の下に正定値である。\( (x,y) = (1,0) \) を代入すると \(E>0\) が得られる。\( \left( \begin{array}{cc} x & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} E & F \\ F & G \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ 1 \end{array} \right)
= E x^2 + 2F x + G > 0 \) だから \( E x^2 + 2F x + G \) の判別式は負であり \( EG-F^2 > 0\)。
主曲率の計算
条件 \( E\alpha^2 + 2F \alpha \beta + G \beta^2 = 1 \) の下で \( L\alpha^2 + 2M\alpha\beta +N\beta^2 \) の最大、最小を求めることで、主曲率と主方向を求める。そのためにラグランジュの未定乗数法を用いる。
\( \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} {}^tp_u & {}^tp_v \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \end{array} \right) \) とすると、\( x^2 + y^2 = 1 \) となる。したがって、円を一次変換した \( E\alpha^2 + 2F \alpha \beta + G \beta^2 = 1 \) は楕円であり、コンパクト集合上の連続関数 \( L\alpha^2 + 2M\alpha\beta +N\beta^2 \) には最大、最小が存在する。ラグランジュの未定乗数法を適用すると次式が得られる。
\( \begin{eqnarray}
\left( \begin{array}{cc} L \,-\, \lambda E & M \,-\, \lambda F \\ M \,-\, \lambda F & N \,-\, \lambda G \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \end{array} \right)
&=& \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) \tag{1}
\end{eqnarray}\)
\( \mathrm{det} \left( \begin{array}{cc} L \,-\, \lambda E & M \,-\, \lambda F \\ M \,-\, \lambda F & N \,-\, \lambda G \end{array} \right) = 0 \) の２つの解を \( \lambda = \kappa_1, \kappa_2 \) として、対応する \( (\alpha,\beta) \) をそれぞれ \( (\alpha_1,\beta_1), (\alpha_2,\beta_2) \) とする。式 (1) を書き換えることにより、\( i=1,2\) に対して次式が成り立つ。
\( \begin{eqnarray}
\left( \begin{array}{cc} L & M \\ M & N \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} \alpha_i \\ \beta_i \end{array} \right)
&=& \kappa_i \left( \begin{array}{cc} E & F \\ F & G \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} \alpha_i \\ \beta_i \end{array} \right) \tag{2}
\end{eqnarray} \)
\( (\alpha_i,\beta_i) \) 方向で法曲率が最大、最小になるが、実は (2) を使って \( \kappa_i \) が法曲率になることが次のようにして分かる。
\( \begin{eqnarray}
L \alpha_i^2 + 2M \alpha_i\beta_i + N \beta_i^2
&=& \left( \begin{array}{cc} \alpha_i & \beta_i \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} L & M \\ M & N \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} \alpha_i \\ \beta_i \end{array} \right) \\
&=& \kappa_i \left( \begin{array}{cc} \alpha_i & \beta_i \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} E & F \\ F & G \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} \alpha_i \\ \beta_i \end{array} \right) \\
&=& \kappa_i \left( E \alpha_i^2 + 2F \alpha_i\beta_i + G \beta_i^2 \right)
= \kappa_i
\end{eqnarray}\)
主方向の直交性
主方向が直交することも (2) を用いて証明される。
\( \begin{eqnarray}
\langle \alpha_1 p_u + \beta_1 p_v , \alpha_2 p_u + \beta_2 p_v \rangle
&=& \left( \begin{array}{cc} \alpha_1 & \beta_1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} E & F \\ F & G \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} \alpha_2 \\ \beta_2 \end{array} \right) \\
&=& \kappa_2 \left( \begin{array}{cc} \alpha_1 & \beta_1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} \alpha_2 \\ \beta_2 \end{array} \right) \\[3mm]
\langle \alpha_2 p_u + \beta_2 p_v , \alpha_1 p_u + \beta_1 p_v \rangle
&=& \left( \begin{array}{cc} \alpha_2 & \beta_2 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} E & F \\ F & G \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} \alpha_1 \\ \beta_1 \end{array} \right) \\
&=& \kappa_1 \left( \begin{array}{cc} \alpha_2 & \beta_2 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} \alpha_1 \\ \beta_1 \end{array} \right) \\
\end{eqnarray} \)
\( \kappa_1 \neq \kappa_2 \) だから \( \langle \alpha_1 p_u + \beta_1 p_v , \alpha_2 p_u + \beta_2 p_v \rangle = 0 \)。
ガウス曲率と平均曲率
\( K = \kappa_1 \kappa_2,\,H=\frac{1}{2}(\kappa_1+\kappa_2) \) をそれぞれガウス曲率、平均曲率と呼ぶ。(2) を次のように書き換える。
\( \begin{eqnarray}
\left( \begin{array}{cc} E & F \\ F & G \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{cc} L & M \\ M & N \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} \alpha_i \\ \beta_i \end{array} \right)
&=& \kappa_i
\left( \begin{array}{c} \alpha_i \\ \beta_i \end{array} \right)
\end{eqnarray} \)
これは \( \kappa_i \) が \( \left( \begin{array}{cc} E & F \\ F & G \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{cc} L & M \\ M & N \end{array} \right) \) の固有値であることを意味するので、\( K,H \) は次のように表される。
\( \begin{eqnarray}
K &=&
\mathrm{det} \left( \begin{array}{cc} E & F \\ F & G \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{cc} L & M \\ M & N \end{array} \right) \\
H &=&
\frac{1}{2}\mathrm{tr} \left( \begin{array}{cc} E & F \\ F & G \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{cc} L & M \\ M & N \end{array} \right) \\
\end{eqnarray} \)
この公式は \(\S 17\) で現れるが、これは線形代数の知識をあまり仮定しないよう配慮しているものと思う。
