数論で Minkowski の定理を調べていた時、予備知識として Dirichlet 積分が必要になった。微積分の教科書を探しても２変数までしか扱っていないことが多くて、意外と見つけられなかったので書き留めておく。
ベータ関数とガンマ関数
ベータ関数とガンマ関数が必要になるので、重要な関係式を確認しておく。
\( \begin{eqnarray}
B(p,q) &=& \int_0^1 t^{p-1}(1 – t)^{q-1} \,dt = \frac{\displaystyle \Gamma(p)\, \Gamma(q) }{\displaystyle \Gamma(p+q)}
\end{eqnarray} \)
Dirichlet 積分の公式
\( a_0,\cdots,a_n > 0,\) \( D_n = \{ (x_1,\cdots,x_n) \,|\, 0 \leq x_1+\cdots+x_n \leq 1,\, x_i \geq 0 \} \) とするとき
\( \begin{eqnarray} && \int\!\cdots\!\int_{D_n}
(1-x_1-\cdots -x_n)^{a_0-1} x_1^{a_1-1} \cdots x_n^{a_n-1}
\,dx_1\cdots dx_n \\
&=& \frac{\displaystyle \Gamma(a_0) \cdots \Gamma(a_n) }{\displaystyle \Gamma(a_0+\cdots+a_n)}
\end{eqnarray} \)
\(n=1\) の場合はベータ関数とガンマ関数そのものであり、Dirichlet 積分の公式はその拡張である。この公式を以下で証明する。
\(n=2\) の場合
式に慣れるために \( n=2 \) の場合を考える。\( \displaystyle \iint_{D_2}
(1-x_1-x_2)^{a_0-1} x_1^{a_1-1} x_2^{a_2-1}
\,dx_1 dx_2 \) の \(x_2\) について積分するときは \(x_1\) は定数と見なされ、\( c =1-x_1 \) とする。
\( \begin{eqnarray} &&
\iint_{D_2} (1-x_1-x_2)^{a_0-1} x_1^{a_1-1} x_2^{a_2-1}
\,dx_1 dx_2 \\
&=& \int_0^1 x_1^{a_1-1} \left( \int_0^c (c-x_2)^{a_0-1} x_2^{a_2-1}
\,dx_1 \right) dx_2 \\
&=& \int_0^1 x_1^{a_1-1} c^{a_0+a_2-2} \left( \int_0^c \left( 1-\frac{x_2}{c} \right)^{a_0-1} \left( \frac{x_2}{c} \right)^{a_2-1}
\,dx_1 \right) dx_2 \\
\end{eqnarray} \)
\( \displaystyle x_2 = ct \) とおくと、
\( \begin{eqnarray}
\int_0^c \left( 1-\frac{x_2}{c} \right)^{a_0-1} \left( \frac{x_2}{c} \right)^{a_2-1}
\,dx_1
&=& c \int_0^1 \left( 1-t \right)^{a_0-1} t^{a_2-1} \,dt \\
&=& c \, B(a_0,a_2) = \frac{c \, \Gamma(a_0)\,\Gamma(a_2)}{\Gamma(a_0+a_2)}
\end{eqnarray} \)
元の式に代入して
\( \begin{eqnarray} &&
\iint_{D_2} (1-x_1-x_2)^{a_0-1} x_1^{a_1-1} x_2^{a_2-1}
\,dx_1 dx_2 \\[3mm]
&=& \frac{\Gamma(a_0)\,\Gamma(a_2)}{\Gamma(a_0+a_2)} \int_0^1 x_1^{a_1-1} \left( 1-x_1 \right)^{a_0+a_2-1} dx_1 \\[3mm]
&=& \frac{\Gamma(a_0)\,\Gamma(a_2)}{\Gamma(a_0+a_2)} \times B( a_1, a_0+a_2 ) \\[3mm]
&=& \frac{\Gamma(a_0)\,\Gamma(a_2)}{\Gamma(a_0+a_2)} \times \frac{\Gamma(a_0)\,\Gamma(a_0+a_2)}{\Gamma(a_0+a_1+a_2)} \\[3mm]
&=& \frac{\Gamma(a_0)\,\Gamma(a_1)\,\Gamma(a_2)}{\Gamma(a_0+a_1+a_2)}
\end{eqnarray} \)
一般の場合
帰納法を使って証明を一般の場合に拡張する。\(n\) 変数の場合に公式が成り立つとして、\( \displaystyle \int\!\cdots\!\int_{D_{n+1}}
(1-x_1-\cdots -x_{n+1})^{a_0-1} x_1^{a_1-1} \cdots x_{n+1}^{a_{n+1}-1}
\,dx_1\cdots dx_{n+1} \) の \( x_{n+1} \) に関する積分を計算する。\( c=1-x_1-\cdots -x_n \) とおく。
\( \begin{eqnarray} &&
\int\!\cdots\!\int_{D_{n+1}}
(1-x_1-\cdots -x_{n+1})^{a_0-1} x_1^{a_1-1} \cdots x_{n+1}^{a_{n+1}-1}
\,dx_1\cdots dx_{n+1} \\
&=& \int\!\cdots\!\int_{D_{n}}
x_1^{a_1-1} \cdots x_{n}^{a_{n}-1} \left( \int_0^c (c -x_{n+1})^{a_0-1}
x_{n+1}^{a_{n+1}-1} \,dx_{n+1} \right) dx_1 \cdots dx_{n} \\
&=& \int\!\cdots\!\int_{D_{n}}
x_1^{a_1-1} \cdots x_{n}^{a_{n}-1} \left( c^{a_0+a_{n+1}-1} \,B(a_0,a_{n+1} ) \right) dx_1 \cdots dx_{n} \\[3mm]
&=& \frac{\displaystyle \Gamma(a_0)\,\Gamma(a_{n+1})}{\displaystyle \Gamma(a_0+a_{n+1})}\int\!\cdots\!\int_{D_{n}}
\left( 1 -x_1-\cdots-x_n \right)^{a_0+a_{n+1}-1}x_1^{a_1-1} \cdots x_{n}^{a_{n}-1} dx_1 \cdots dx_{n} \\
\end{eqnarray} \)
\(n\) 変数 Dirichlet 積分の公式を使う。
\( \begin{eqnarray}
&=& \frac{\displaystyle \Gamma(a_0)\,\Gamma(a_{n+1})}{\displaystyle \Gamma(a_0+a_{n+1})} \times
\frac{\displaystyle \Gamma(a_0+a_{n+1})\,\Gamma(a_1)\,\Gamma(a_2)\cdots\Gamma(a_{n})}{\displaystyle \Gamma(a_0+a_{n+1}+a_1+a_2+\cdots+a_{n})} \\
&=& \frac{\displaystyle \Gamma(a_0)\cdots\Gamma(a_{n+1})}{\displaystyle \Gamma(a_0+\cdots++a_{n+1})}
\end{eqnarray} \)
